Números Racionales
Un número racional se representa con la letra \(\mathbb{Q}\) y es aquel que puede expresarse como el cociente o fracción de dos enteros, es decir:
$$\frac{a}{b}, \text{ con } a, b \in \mathbb{Z} \text{ y } b \neq 0.$$
Ejemplos
\(\frac{3}{4}\) es un número racional, porque 3 y 4 son enteros, y \(4 \neq 0\).
\(\frac{-5}{2}\) también es racional, ya que \(-5\) y \(2\) son enteros.
\(0.75\) es racional porque puede expresarse como \(\frac{3}{4}\).
\(1.333\ldots\) (repetido) es racional, ya que equivale a \(\frac{4}{3}\).
Conversión de Decimales a Fraccionarios
Caso 1: Decimales finitos
Ejemplo: Convertir \( 0.25 \) a fraccionario
\( X = 0.25 \) (donde \( X \) es el fraccionario que debemos hallar)
Como tiene dos decimales, multiplicamos por 100 ambos lados: \( X(100) = 0.25(100) \)
Resolvemos las operaciones: \( 100X = 25 \)
Despejamos la \( X \) y nos queda: \( X = \frac{\mathbf{25}}{\mathbf{100}} \)
Simplificamos: \( X = \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}} \)
Caso 2: Decimales Infinitos Periódicos
Ejemplo: Convertir \( 0.\widehat{\mathbf{75}} \) a fraccionario
\( X = 0.\widehat{\mathbf{75}} \)
Como tiene dos decimales, multiplicamos por 100 ambos lados: \( X(100) = 0.\widehat{\mathbf{75}}(100) \)
Resolvemos las operaciones: \( 100X = 75.\widehat{\mathbf{75}} \)
Restamos la ecuación inicial: \( X = 0.\widehat{\mathbf{75}} \)
Nos queda: \( 100X - X = 75.\widehat{\mathbf{75}} - 0.\widehat{\mathbf{75}} \)
Resolvemos las operaciones: \( 99X = 75 \)
Despejamos la \( X \) y nos queda : \( X = \frac{\mathbf{75}}{\mathbf{99}} \)
Simplificamos siempre que se pueda.
Caso 3: Decimales Mixtos
Ejemplo: Convertir \(0. 9\widehat{\mathbf{16}} \) a fraccionario
\( X = 0.\mathbf{9}\widehat{\mathbf{16}} \)
Como tiene 1 decimal no periódico, multiplicamos por 10 ambos lados: \( X(10) = 0.\mathbf{9}\widehat{\mathbf{16}}(10) \)
Resolvemos las operaciones: \( 10X = 9.\widehat{\mathbf{16}} \)
Como tiene dos decimales periódicos, multiplicamos por 100 ambos lados: \( 10X(100) = 9.\widehat{\mathbf{16}}(100) \)
Resolvemos las operaciones: \( 1000X = 916.\widehat{\mathbf{16}} \)
Restamos la ecuación con el decimal infinito periódico: \( 1000X - 10X = 916.\widehat{\mathbf{16}} - 9.\widehat{\mathbf{16}} \)
Resolvemos las operaciones: \( 990X = 907 \)
Despejamos la \( X \) y nos queda: \( X = \frac{\mathbf{907}}{\mathbf{990}} \)
Simplificamos siempre que se pueda.
